Une approche pragmatique et comparative de la modélisation de la volatilité, au sein de la classe des modèles Volterra Stein-Stein — partant d'un problème concret : pricer une option exotique quand Black-Scholes ne suffit plus.
Le modèle de Black-Scholes suppose une volatilité constante, hypothèse que le marché dément : en inversant la formule sur les prix d'options, on obtient des volatilités implicites qui varient avec le strike et la maturité — le smile et le skew. Une volatilité réaliste est donc un processus dynamique $\sigma_t$, et non une constante.
Cette nécessité devient concrète dès qu'on cherche à pricer une option exotique (par exemple une asiatique) : il n'existe pas de cotation à inverser, ni de formule fermée de Black-Scholes pour son payoff. La seule voie est de simuler le sous-jacent (Monte-Carlo), ce qui exige de connaître la dynamique de la volatilité — la vol implicite, qui n'est qu'une moyenne par option, ne peut pas être injectée telle quelle dans une simulation.
Quelle est alors cette dynamique : markovienne (à réversion rapide), rough (rugueuse, à mémoire), ou path-dépendante ? Ce mémoire traite la question au sein de la classe des modèles Volterra Stein-Stein, où $\sigma_t$ suit une dynamique gaussienne de type Ornstein-Uhlenbeck pondérée par un noyau de mémoire $K$. Le choix de ce noyau (exponentiel, somme d'exponentielles, fractionnaire, translaté) interpole entre les régimes markovien et rough au sein d'un même cadre. Atout déterminant : la volatilité y étant gaussienne, sa trajectoire se simule exactement — variance d'incrément $\int K^2$ en forme fermée, sans biais de discrétisation ni contrainte de positivité — et pour tout noyau, même rough. D'où un pricing par Monte-Carlo exact et uniforme sur tous les noyaux — vanilles comme exotiques.
La démarche s'articule en quatre temps : (i) une analyse empirique de la structure par terme de l'ATM skew du S&P 500 ; (ii) le pricing par Monte-Carlo de la dynamique gaussienne ; (iii) la calibration des différents noyaux aux données de marché et leur comparaison ; (iv) le retour au problème initial — pricer l'option exotique sous chaque modèle calibré.
Résultats. Le markovien à 2 facteurs ajuste le mieux le skew SPX (meilleur BIC), devant les noyaux rough ; surtout, la rugosité $H$ n'est pas identifiée (frac $H\approx0.36$ et shifted $H\approx0.07$ ajustent aussi bien). Sous calibration jointe, les modèles s'accordent sur les vanilles mais divergent sur les exotiques, d'un écart dépendant du payoff (faible sur l'asiatique, plus net sur la barrière). Le message visé concerne les risques, en pricing et en gestion du risque, à conclure trop vite à une volatilité « rough ».
The Black-Scholes model assumes constant volatility, an assumption the market rejects: inverting the formula on option prices yields implied volatilities that vary with strike and maturity — the smile and skew. A realistic volatility is therefore a dynamic process $\sigma_t$, not a constant.
This need becomes concrete when pricing an exotic option (e.g. an Asian): there is no quote to invert, nor a closed-form Black-Scholes price for its payoff. The only route is to simulate the underlying (Monte-Carlo), which requires knowing the volatility's dynamics — implied volatility, being a per-option average, cannot be plugged directly into a simulation.
Is that dynamics Markovian (fast mean-reverting), rough, or path-dependent? This work addresses the question within the Volterra Stein-Stein class, where $\sigma_t$ follows a Gaussian Ornstein-Uhlenbeck-type dynamics weighted by a memory kernel $K$. The kernel choice (exponential, sum of exponentials, fractional, shifted) interpolates between Markovian and rough regimes within a single framework. Its key advantage: the volatility being Gaussian, the underlying path is simulated directly, enabling Monte-Carlo pricing valid for every kernel — vanillas and exotics alike.
The approach proceeds in four steps: (i) an empirical analysis of the S&P 500 ATM skew term structure; (ii) Monte-Carlo pricing of the Gaussian dynamics; (iii) calibration of the kernels to market data and their comparison; (iv) returning to the original problem — pricing the exotic under each calibrated model. Results: the two-factor Markovian kernel fits the SPX skew best (lowest BIC), the roughness $H$ is not identified (frac $H\approx0.36$ vs shifted $H\approx0.07$), and the calibrated models agree on vanillas but diverge on exotics (payoff-dependent). The intended message concerns the risks, in pricing and risk management, of concluding too quickly that volatility is "rough".
Tout part d'un problème concret — pricer une option exotique(1) — qui, de proche en proche, force à se demander comment la volatilité évolue réellement dans le temps.
Plaçons-nous du point de vue d'un desk qui doit coter une option asiatique sur le S&P 500 : une option dont le payoff dépend non pas du seul prix final $S_T$, mais de la moyenne du sous-jacent sur une période,
Contrairement à un call vanille (européen, payoff $(S_T-K)^+$), cette option n'est pas cotée sur un marché liquide : c'est un produit sur mesure. Tout le mémoire part de cette question pratique : comment lui attribuer un prix ?
Pour une vanille, le marché fournit le prix, et Black-Scholes sert seulement à le traduire en volatilité implicite. Pour notre asiatique, deux obstacles :
La seule voie générale est de simuler : générer un grand nombre de trajectoires du sous-jacent, calculer le payoff sur chacune, puis prendre la moyenne actualisée (Monte-Carlo).
Simuler le sous-jacent exige une volatilité. On ne peut pas prendre une constante : en inversant Black-Scholes sur les vanilles cotées, on obtient des volatilités implicites qui varient avec le strike et la maturité (le smile et le skew). Plus subtil : la vol implicite n'est pas la vol instantanée. La vol implicite est un nombre par option — une sorte de moyenne sur la durée de vie de l'option — alors que la simulation a besoin de la valeur de $\sigma_t$ à chaque instant (comme la vitesse moyenne d'un trajet ne dit rien de la vitesse à chaque seconde). On a donc besoin de la dynamique du processus $\sigma_t$.
Reste la question centrale : comment la volatilité évolue-t-elle ? Trois grandes familles s'opposent :
Nous traitons cette question dans la classe des modèles Volterra Stein-Stein : la volatilité y est gaussienne (de type Ornstein-Uhlenbeck), pondérée par un noyau de mémoire $K$. Changer $K$ fait passer continûment du régime markovien (noyau exponentiel) au régime rough (noyau fractionnaire), au sein d'un même cadre. Son atout décisif : la volatilité étant gaussienne, le chemin du sous-jacent se simule exactement (variance d'incrément $\int K^2$ en forme fermée, sans biais ni contrainte de positivité) et pour tout noyau, même rough — d'où un pricing par Monte-Carlo uniforme sur tous les noyaux, qui sert aussi bien à calibrer (vanilles) qu'à pricer les exotiques.
Le mémoire est organisé comme suit. La partie 02 rappelle le cadre Black-Scholes et la notion de volatilité implicite, et compare plusieurs algorithmes d'inversion. La partie 03 analyse empiriquement la surface de volatilité du S&P 500, en se concentrant sur la structure par terme du skew ATM. La partie 04 introduit la classe Volterra Stein-Stein et la simulation directe de sa volatilité gaussienne. La partie 05 développe le pricing par Monte-Carlo (réduction de variance, convergence, validation) pour différents noyaux. La partie 06 calibre et compare les modèles sur données de marché. La partie 07 revient au problème initial en priçant l'option asiatique sous chaque modèle calibré, révélant l'écart de prix entre régimes. La partie 08 discute l'identifiabilité statistique des régimes et les risques associés, avant la conclusion (partie 09).
Les contributions principales sont : (i) une mise en œuvre du modèle Volterra Stein-Stein avec pricing par Monte-Carlo pour une famille de noyaux ; (ii) une étude comparative de la capacité des régimes markovien / rough / path-dépendant à reproduire la surface de volatilité du S&P 500 ; (iii) une illustration, sur le pricing d'une option exotique, des conséquences pratiques du choix de régime ; (iv) une discussion critique, étayée numériquement, des limites de l'inférence du caractère rough de la volatilité.
Le socle : la formule de Black-Scholes, la volatilité implicite comme inversion de cette formule, les algorithmes pour la calculer, et le smile qui réfute l'hypothèse de volatilité constante.
Black-Scholes suppose que le sous-jacent suit un mouvement brownien géométrique à volatilité constante $\sigma$ : $dS_t = (r-q)\,S_t\,dt + \sigma\,S_t\,dW_t$ (sous la probabilité risque-neutre, $q$ = taux de dividende). Le prix d'un call européen admet alors une formule fermée :
$N$ = fonction de répartition de la loi normale. La parité call-put (sans modèle) lie les deux prix. Hypothèses : marché sans friction, vente à découvert possible, $r$ et $\sigma$ constants, trajectoires continues (pas de sauts).
1. Dynamique du log-prix. On applique le lemme d'Itô à $X_t = \ln S_t$. Avec $f(x)=\ln x$, $f'(x)=1/x$, $f''(x)=-1/x^2$ et $d\langle S\rangle_t = \sigma^2 S_t^2\,dt$ :
2. Loi de $S_T$. En intégrant, $X_T = \ln S_0 + (r-q-\tfrac12\sigma^2)T + \sigma W_T$ avec $W_T\sim\mathcal{N}(0,T)$. En posant $W_T = \sqrt{T}\,Z$, $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ :
donc $S_T$ est log-normale (et $\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[S_T]=S_0 e^{(r-q)T}$, cohérent avec la propriété de martingale du prix actualisé).
3. Région d'exercice. Le call est dans la monnaie ssi $S_T>K$, c'est-à-dire
4. Espérance risque-neutre. Le prix est $C = e^{-rT}\,\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[(S_T-K)^+]$. En notant $\varphi$ la densité $\mathcal{N}(0,1)$ :
Le second terme vaut $K\,N(d_2)$. Pour le premier, on complète le carré : $e^{\sigma\sqrt{T}\,z}\varphi(z) = e^{\frac12\sigma^2 T}\,\varphi(z-\sigma\sqrt{T})$, d'où
5. Conclusion. En rassemblant et en multipliant par $e^{-rT}$ :
La sensibilité du prix à la volatilité — la vega — joue un rôle central pour la suite :
($\varphi$ = densité normale). Elle est strictement positive et en cloche — maximale près de la monnaie (du forward), elle s'effondre vers les ailes (options très dans/hors la monnaie) et à très court terme.
Point de départ. On dérive le prix Black-Scholes du call par rapport à la volatilité $\sigma$ :
Les deux bornes $d_1$ et $d_2$ dépendent de $\sigma$, donc on applique la règle de dérivation en chaîne (avec $N'=\varphi$, la densité normale) :
1. Une relation simple entre $d_1$ et $d_2$. Par définition, $d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$, donc en dérivant :
On n'aura même pas besoin de calculer $\partial d_1/\partial\sigma$ explicitement — il va s'éliminer.
2. Le lemme clé. Les deux coefficients devant les dérivées sont en fait égaux :
Preuve : on calcule le rapport des deux densités. Comme $\varphi(x)=\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ :
Or $d_1-d_2 = \sigma\sqrt{T}$ et $d_1+d_2 = \dfrac{2\big[\ln(S_0/K)+(r-q)T\big]}{\sigma\sqrt{T}}$, donc le produit se simplifie complètement :
En multipliant par $S_0\,e^{-qT}$, on obtient bien $S_0 e^{-qT}\varphi(d_1) = K\,e^{-qT}e^{-(r-q)T}\varphi(d_2) = K\,e^{-rT}\varphi(d_2)$. $\;\square$
3. Substitution et simplification. Notons $A := S_0 e^{-qT}\varphi(d_1) = K e^{-rT}\varphi(d_2)$ la valeur commune. En reportant l'étape 1 dans la dérivée :
Les termes en $\partial d_1/\partial\sigma$ s'annulent, et il reste :
4. Pourquoi une courbe en cloche ? Tous les facteurs $S_0\,e^{-qT}\sqrt{T}$ sont positifs, donc la vega l'est aussi ($>0$) : acheter de la volatilité vaut toujours plus cher. Toute la forme vient de la densité $\varphi(d_1)$, maximale en $d_1=0$ et qui s'écrase exponentiellement quand $|d_1|$ grandit. Or $d_1$ mesure la « monnaie » (la position du strike par rapport au forward) :
C'est cette concentration de la vega autour de la monnaie qui explique pourquoi l'inversion de la vol implicite est stable près du forward mais mal conditionnée dans les ailes (§2.3) : là où la vega s'effondre, une petite erreur de prix se traduit par une grande erreur de volatilité.
La volatilité implicite $\sigma_{iv}$ est le $\sigma$ qui, injecté dans Black-Scholes, reproduit le prix observé : $C_{BS}(\sigma_{iv}) = C_{\text{marché}}$. Comme la vega est strictement positive, $C_{BS}$ est strictement croissante(6) en $\sigma$ : la solution, si elle existe (prix dans les bornes d'arbitrage), est unique(7). On l'obtient en inversant numériquement la formule.
On compare deux méthodes de recherche de racine, appliquées à $f(\sigma)=C_{BS}(\sigma)-C^*$ :
Dichotomie (bissection) — sans dérivée, robuste. Partant d'un bracket $[\sigma_{lo},\sigma_{hi}]$ tel que $f(\sigma_{lo})\,f(\sigma_{hi})<0$, on conserve à chaque pas le demi-intervalle où $f$ change de signe :
Newton-Raphson — utilise la dérivée (la vega au dénominateur), convergence quadratique :
Trois points de vigilance, illustrés par la démo ci-dessous :
Si l'hypothèse de Black-Scholes était vraie, inverser toutes les options donnerait le même $\sigma$. Or le marché montre l'inverse : la volatilité implicite dessine un smile / skew qui varie avec le strike et la maturité. C'est la réfutation directe de l'hypothèse de volatilité constante.
Le smile impose une volatilité qui varie. Mais pourquoi en modéliser la dynamique $\sigma_t$ plutôt que de paramétrer directement la surface implicite ?
Premier axe empirique : la structure par terme du skew at-the-money (ATM) du S&P 500, fait stylisé central de la littérature récente — et la question « la volatilité est-elle rough ? »
La donnée de base de ce chapitre est la structure par terme moyenne de l'ATM skew du S&P 500, fournie par l'encadrant et calculée sur le marché entre 2012 et 2023. Pour chaque maturité $T$, on dispose d'un seul nombre : le skew ATM moyen (en valeur absolue) à cette maturité.
Le skew ATM est la pente de la volatilité implicite par rapport au log-strike $k=\ln(K/F)$, évaluée à la monnaie : $\text{skew}(T) = \big|\partial_k\sigma_{iv}(T,k)|_{k=0}\big|$. On dispose de sa moyenne 2012-2023 (donnée fournie par l'encadrant) sur 48 maturités, de ~1 semaine à 2.5 ans (le skew est pris en valeur absolue — il est en réalité négatif sur les indices actions).
La courbe présente deux régimes : aux courtes maturités ($T\lesssim 2$ mois) le skew explose (de $\approx 0.95$ à deux mois jusqu'à $\approx 1.42$ à une semaine) ; aux longues maturités il décroît lentement vers $\approx 0.19$.
Le skew est strictement décroissant, explose aux courtes maturités ($\approx 1.4$ à une semaine — ce que les modèles markoviens standards peinent à reproduire), et apparaît quasi-linéaire en log-log : cela suggère une loi de puissance $\text{skew}(T)\approx c\,T^{\beta}$.
Pour décrire cette forme, on se donne quatre familles paramétriques $S(T)$, chacune étant la term structure d'ATM skew engendrée par une classe de noyau de mémoire $K$ du modèle Volterra (§4). Ajuster la forme, c'est sonder indirectement le noyau. La distinction décisive est le comportement en $T\to0$ : seul un noyau singulier fait exploser le skew.
Générateur commun. Au premier ordre (petit « vol-of-vol »), la pente ATM du skew produite par un noyau de mémoire $K$ est une double moyenne temporelle de ce noyau — c'est le proxy de skew de type Bergomi–Guyon / Alòs–León–Vives : $$ S(T) = \frac{C}{T^{2}}\int_0^{T}\!\!\int_0^{t} K(u)\,du\,dt, \qquad C>0 \ \text{(absorbe }\rho,\nu,\dots). $$ Posons $g(t)=\int_0^{t}K(u)\,du$ et $G(T)=\int_0^{T}g(t)\,dt$, donc $S(T)=\dfrac{C}{T^{2}}\,G(T)$. Il suffit d'injecter chaque noyau.
(a) Fractionnaire — $K(u)=u^{\,H-1/2}$, on note $p=H-\tfrac12$ : $$ g(t)=\frac{t^{p+1}}{p+1},\quad G(T)=\frac{T^{p+2}}{(p+1)(p+2)} \;\Longrightarrow\; S_{frac}(T)=\underbrace{\frac{C}{(p+1)(p+2)}}_{=\,c}\,T^{p}=c\,T^{\beta},\ \beta=H-\tfrac12. $$ La loi de puissance du noyau se transmet telle quelle au skew. Singulière en $0$ si $\beta<0$ → explose.
(b) Exponentiel — $K(u)=e^{-\lambda u}$ : $$ g(t)=\frac{1-e^{-\lambda t}}{\lambda},\quad G(T)=\frac{1}{\lambda}\Big(T-\frac{1-e^{-\lambda T}}{\lambda}\Big) \;\Longrightarrow\; S_{exp}(T)=\frac{c}{T}\Big(1-\frac{1-e^{-\lambda T}}{\lambda T}\Big),\ c=\frac{C}{\lambda}. $$ En $T\to0$ : $S_{exp}\to \frac{c\lambda}{2}$ — borné. C'est bien la forme engendrée par le noyau, pas le noyau lui-même.
(c) Deux exponentielles — par linéarité de l'intégrale, $K=w_1e^{-\lambda_1 u}+w_2e^{-\lambda_2 u}$ donne simplement $$ S_{2exp}(T)=S_{exp}(T;c_1,\lambda_1)+S_{exp}(T;c_2,\lambda_2). $$
(d) Puissance translatée — $K(u)=(u+\alpha)^{\beta}$ : $$ g(t)=\frac{(t+\alpha)^{\beta+1}-\alpha^{\beta+1}}{\beta+1} \;\Longrightarrow\; S_{shifted}(T)=\frac{c}{T^{2}}\Big(\frac{(\alpha+T)^{\beta+2}-\alpha^{\beta+2}}{\beta+2}-\alpha^{\beta+1}T\Big),\ c=\frac{C}{\beta+1}. $$ Le décalage borne $K(0)=\alpha^{\beta}<\infty$ → skew fini en $0$, mais $\sim c\,T^{\beta}$ pour $T\gg\alpha$ (allure rough).
Lecture. Le comportement en $T\to0$ se lit directement sur $K$ près de $0$ : $S(0)=\tfrac{C}{2}K(0)$ si $K(0)<\infty$ (exp, 2exp, shifted → bornés), et $S(T)\to+\infty$ si $K$ est singulier en $0$ (fractionnaire). C'est la signature qui sépare markovien de rough.
Noyau $K(t)\propto t^{H-1/2}$ avec $H<\tfrac12$. En log-log c'est une droite de pente $\beta$. Singulière en 0 : $S_{frac}\to+\infty$ quand $T\to0$ — elle explose, ce qui colle qualitativement au court terme. Décroît vers $0$ à l'infini.
Noyau $K(t)=e^{-\lambda t}$ : volatilité d'Ornstein-Uhlenbeck, modèle markovien à un facteur. En $T\to0$ : $S_{exp}(T)=\tfrac{c\lambda}{2}-\tfrac{c\lambda^2}{6}T+\dots$ — la courbe est bornée et tend vers $c\lambda/2$. Elle ne peut pas exploser : c'est la limite intrinsèque d'un modèle markovien. À l'infini $S_{exp}\sim c/T$.
Deux échelles de temps ($\lambda_1$ rapide, $\lambda_2$ lente). Toujours bornée en 0, mais le facteur rapide permet une décroissance abrupte sur la plage observée : un modèle markovien multi-factoriel peut ainsi mimer l'explosion sans être rough.
Noyau translaté $K(t)=(t+\alpha)^{\beta}$ : loi de puissance régularisée par le décalage $\alpha$ ($\approx$ 1 semaine). Pour $T\gg\alpha$ elle imite $S_{frac}$ (allure rough), mais reste finie en 0 ($\to\tfrac{c(\beta+1)}{2}\alpha^{\beta}$) : un compromis « rough sans singularité ».
| Forme | Noyau associé | $T\to0$ (court terme) | $T\to\infty$ | Régime |
|---|---|---|---|---|
| $S_{frac}$ | fractionnaire $t^{H-1/2}$ | explose $\to+\infty$ | $\to 0$ | rough |
| $S_{exp}$ | exponentiel $e^{-\lambda t}$ | borné $\to c\lambda/2$ | $\sim c/T$ | markovien |
| $S_{2exp}$ | somme de 2 exp. | borné | $\sim c/T$ | markovien multi-fact. |
| $S_{shifted}$ | puissance translatée $(t+\alpha)^{\beta}$ | borné (régularisé) | $\sim c\,T^{\beta}$ | rough régularisé |
On confronte quatre formes, chacune étant la term structure produite par une classe de noyau
du modèle Volterra (§4) : $S_{frac}=c\,T^{\beta}$ (loi de puissance ↔ noyau fractionnaire / rough),
$S_{exp}$ (↔ noyau exponentiel / markovien), $S_{2exp}$ (deux facteurs), et $S_{shifted}$. On calibre chaque
forme par moindres carrés (curve_fit) sur deux fenêtres : le court terme
($T\le 2$ mois) et la gamme complète ($T\le 2.5$ ans). Le widget montre les fits sur la gamme
complète (3 onglets) ; le tableau ci-dessous donne les paramètres et RMSE des deux calibrations.
① Calibration sur le court terme ($T\le 2$ mois, 24 maturités).
| Modèle | Paramètres ajustés | RMSE | Temps (ms) |
|---|---|---|---|
| $S_{2exp}$ | c₁ = 0.221, λ₁ = 11.6, c₂ = 0.0065, λ₂ = 154 | 0.0080 | 19.98 |
| $S_{shifted}$ | c = 0.714, β = −0.700 | 0.0094 | 1.30 |
| $S_{exp}$ | c = 0.192, λ = 15.8 | 0.0168 | 0.99 |
| $S_{frac}$ | c = 0.531, β = −0.257 (H = 0.24) | 0.0282 | 0.64 |
| Temps total de calibration (4 modèles) | — | 22.91 | |
curve_fit contre $\approx 20$ pour les autres). Raison : sur 24 points il est
sur-paramétré — son second facteur ($c_2\approx0.006$, $\lambda_2\approx154$) est à peine
identifiable, la surface des moindres carrés devient une vallée plate et l'optimiseur rame
(~100 itérations). Meilleur RMSE ≠ meilleur modèle.② Calibration sur la gamme complète ($T\le 2.5$ ans, 48 maturités).
| Modèle | Paramètres ajustés | RMSE | Temps (ms) |
|---|---|---|---|
| $S_{2exp}$ | c₁ = 0.488, λ₁ = 2.28, c₂ = 0.0605, λ₂ = 35.1 | 0.0079 | 1.00 |
| $S_{shifted}$ | c = 0.717, β = −0.685 | 0.0110 | 0.67 |
| $S_{frac}$ | c = 0.407, β = −0.341 (H = 0.16) | 0.0599 | 0.41 |
| $S_{exp}$ | c = 0.296, λ = 9.27 | 0.0656 | 0.88 |
| Temps total de calibration (4 modèles) | — | 2.96 | |
Temps (ms) = médiane sur 11 appels curve_fit, repris du notebook (valeurs indicatives, dépendantes de la machine). À lire en regard du RMSE : sur le court terme, $S_{2exp}$ donne le meilleur ajustement mais coûte ~20× plus cher à calibrer (deux échelles de temps très écartées, $\lambda_2\approx154$, plus dures à faire converger) ; sur la gamme complète tous les fits sont de l'ordre de la milliseconde.
Conclusion (pont). Conclure « rough » à partir de cette seule courbe est hasardeux — un markovien multi-facteurs la reproduit au moins aussi bien, et l'exposant dépend de la fenêtre (cf. Guyon & El Amrani 2022 ; Delemotte-De Marco-Segonne 2023). C'est instruit dans la suite (§5–§7).
La régression log-log donne un exposant global $\beta\approx-0.40$, soit $H=\beta+\tfrac12\approx 0.10$ — exactement la signature « rough » de Gatheral-Jaisson-Rosenbaum (2018). Mais une seule loi de puissance ajuste mal (RMSE $\approx 0.06$) : l'exposant n'est pas constant ($\beta\approx-0.27$ aux courtes maturités, $\approx-0.53$ aux longues) — un crossover, pas une vraie loi de puissance unique. Ce chapitre se concentre sur cet exposant ; la comparaison des qualités d'ajustement (où un markovien à deux facteurs égale le rough) a été traitée en §3.3 et est reprise dans la synthèse §3.5.
Plusieurs valeurs de H circulent dans §3.3 et §3.4 : elles ne se contredisent pas, elles diffèrent par la fenêtre de maturités et la méthode d'ajustement.
| Source | Points | Méthode | β | H |
|---|---|---|---|---|
| §3.3 court | 24 courts | curve_fit (valeurs) | −0.257 | 0.24 |
| §3.3 full | 48 (tous) | curve_fit (valeurs) | −0.341 | 0.16 |
| §3.4 courtes | 24 courts | régression log-log | −0.27 | 0.23 |
| §3.4 longues | 24 longs | régression log-log | −0.53 | −0.03 |
| §3.4 global | 48 (tous) | régression log-log | −0.40 | 0.10 |
Deux clés de lecture.
curve_fit minimise l'erreur sur les valeurs :
les grosses valeurs (courtes maturités) dominent → pente plus douce. La régression log-log
minimise l'erreur relative (en %) : tous les points comptent à égalité → pente plus raide.
D'où, sur les mêmes 48 points, H = 0.16 (curve_fit) vs 0.10 (log-log) ; sur les
mêmes 24 courts, H = 0.24 vs 0.23 — écart minime car les valeurs y varient peu (×2 contre ×7
sur le full).Verdict. La term structure de l'ATM skew, prise seule, ne tranche pas entre markovien, rough et path-dépendant (cf. Guyon & El Amrani 2022 ; Delemotte-De Marco-Segonne 2023 ; Abi Jaber & Li 2025). C'est pourquoi la suite plonge ces noyaux dans la classe Volterra Stein-Stein (§4), les price par Monte-Carlo (§5), les calibre aux prix de marché (§6) et discute le risque de modèle (§7+).
Volatilité gaussienne, noyau de mémoire, et l'idée qui unifie markovien et rough : tout noyau admissible est un mélange d'exponentielles.
Le §3 a posé la question empirique sans la trancher. Ce chapitre installe le cadre théorique qui permettra de la trancher via le pricing (§5) et la calibration (§6) : une volatilité gaussienne $\sigma_t=\int_0^t K(t,s)\,dW_s$ pilotée par un noyau de mémoire $K$. Le choix de $K$ balaie le spectre markovien $\leftrightarrow$ rough ; la gaussiannité rend la volatilité directement simulable, atout du pricing par Monte-Carlo.
Le §2.4 l'a montré : on ne peut pas injecter la surface de vol implicite dans une simulation (vol implicite $\neq$ vol instantanée $\sigma_t$). Il faut un processus. Stein-Stein choisit $\sigma_t$ gaussien, de type Ornstein-Uhlenbeck, qui revient vers une moyenne :
$\kappa$ : vitesse de réversion vers $\theta$ (niveau long terme) ; $\nu$ : vol-of-vol. (Mêmes lettres $(\kappa,\theta,\nu)$ qu'aux §5–§6 ; $\kappa$ est la vitesse de réversion, notée $\lambda$ dans le noyau exponentiel du §4.2.) La dérive est linéaire — c'est ce qui garde $\sigma_t$ gaussien (clé du §4.4). $\sigma_t$ peut devenir négatif, sans gravité : seul $\sigma_t^2$ entre dans le prix.
On en déduit la solution, l'espérance et la variance : $\sigma_t=\theta+(\sigma_0-\theta)e^{-\kappa t}+\nu\int_0^t e^{-\kappa(t-s)}dW_s$, donc $\mathbb E[\sigma_t]=\theta+(\sigma_0-\theta)e^{-\kappa t}$ et $\mathrm{Var}[\sigma_t]=\frac{\nu^2}{2\kappa}(1-e^{-2\kappa t})$ ($\to\frac{\nu^2}{2\kappa}$ stationnaire).
Solution. On élimine la dérive par le facteur intégrant $e^{\kappa t}$ : $d(e^{\kappa t}\sigma_t)=e^{\kappa t}(d\sigma_t+\kappa\sigma_t dt)=e^{\kappa t}(\kappa\theta\,dt+\nu\,dW_t)$. En intégrant : $\sigma_t=\theta+(\sigma_0-\theta)e^{-\kappa t}+\nu\int_0^t e^{-\kappa(t-s)}dW_s$.
Espérance. L'intégrale d'Itô est centrée → $\mathbb E[\sigma_t]=\theta+(\sigma_0-\theta)e^{-\kappa t}$.
Variance. Par l'isométrie d'Itô : $\mathrm{Var}[\sigma_t]=\nu^2\int_0^t e^{-2\kappa(t-s)}ds=\nu^2\frac{1-e^{-2\kappa t}}{2\kappa}$. $\sigma_t$ gaussien → loi décrite par ces deux moments seulement.
L'OU n'est qu'un cas particulier. On généralise en écrivant la volatilité comme l'intégrale d'un bruit contre un noyau $K$ :
$K(t,s)$ = poids du choc survenu en $s$, vu de $t$. Toute la mémoire — markovienne / rough — est dans $K$. (L'OU du §4.1 correspond à $K(t,s)=\nu\,e^{-\kappa(t-s)}$.)
Pourquoi des exponentielles et des puissances, jamais un $\cos$ ? Une mémoire doit s'estomper, pas osciller. Le théorème de Bernstein (complète monotonie) : tout noyau légitime est une superposition positive d'exponentielles —
Chaque $e^{-\lambda t}$ est une réversion à vitesse $\lambda$ ; un noyau est un mélange dosé par la mesure spectrale $\mu$. Un $\cos$ change de signe et impose une échelle de temps — exclus par les données (skew en loi de puissance, sans échelle). D'où le lift markovien : $\sigma_t=\int Y_t^{\lambda}\mu(d\lambda)$ avec $dY_t^{\lambda}=-\lambda Y_t^{\lambda}dt+dW_t$. Mesure finie de Diracs → markovien multi-facteurs ; continuum → rough.
En faisant varier $\mu$ — quelles vitesses on mélange — on balaie le spectre markovien $\leftrightarrow$ rough :
| Noyau $K$ | Mesure $\mu$ | Régime | État |
|---|---|---|---|
| Exponentiel $e^{-\lambda t}$ | 1 Dirac | markovien (OU, 1 facteur) | dim. 1 |
| Somme d'exp. ($N$exp) | $N$ Diracs | markovien multi-facteurs | dim. $N$ |
| Fractionnaire $t^{H-1/2}$ | continuum $\lambda^{-(H+1/2)}$ | rough (singulier en 0) | dim. $\infty$ |
| Translaté $(t+\varepsilon)^{H-1/2}$ | continuum amorti $e^{-\varepsilon\lambda}$ | rough régularisé | $\infty$ borné |
L'atout du cadre gaussien. Le log-prix $\log S_T=\log S_0+\int_0^T(r-\tfrac12\sigma_t^2)dt+\int_0^T\sigma_t\,dB_t$ est,
conditionnellement à la trajectoire de $\sigma$, gaussien ; et $\sigma$ lui-même est un processus
gaussien entièrement fixé par le noyau $K$. Sur une grille $0=t_0<\dots
« Euler 3 » est simplement notre étiquette pour ce schéma (pas un nom de manuel). Chaque poids $W_{ij}$ est la racine de la variance apportée par l'intervalle $j$ (forme close) — donc variance exacte, sans dérive même pour le rough. Tous les noyaux (markovien ou rough) se traitent à l'identique : on remplit $W$. C'est ce qui rend le pricing Monte-Carlo (§5) universel — la seule machine numérique du mémoire, qui calibre (§6) et price les exotiques (§7).
La loi de $\sigma$ sur la grille a une variance exacte par construction (Euler 3, §5.2) — aucune approximation de dynamique, et pas de dérive même pour le noyau rough. Le seul biais porte sur les intégrales du log-prix ($\int\sigma^2dt$, $\int\sigma\,dB$), approchées par un schéma d'Euler point-gauche ; il s'évanouit en $O(1/N)$. C'est ce qui distingue Stein-Stein (vol gaussienne, simulable d'un bloc) d'un Heston (variance CIR, à intégrer pas à pas en gérant la positivité).
Corrélation prix-vol $\rho$ (effet de levier). $dB_t=\rho\,dW_t+\sqrt{1-\rho^2}\,dW_t^{\perp}$, avec $\rho<0$ sur les actions. C'est $\rho$ qui crée le skew : son signe fixe le sens de l'asymétrie, son amplitude la pente ; le noyau $K$ fixe la structure par terme (§3). Sans corrélation, smile symétrique.
La gaussiannité paie : $\sigma$ se simule exactement (variance d'incrément $\int K^2$, sans biais ni positivité à gérer), pour tout noyau ⇒ on price toute option en moyennant le payoff. Un seul moteur, pour tous les noyaux — vanilles comme exotiques.
Où l'on en est. Données (§3) → modèle (§4) → moteur de prix (ici) → calibration (§6) → exotique (§7). L'atout du §4 : $\sigma=g_0+W\,Z$ (schéma d'Euler 3) s'échantillonne d'un bloc. Le moteur sera appelé de nombreuses fois par l'optimiseur de calibration → on le rend efficace par antithétiques et nombres aléatoires communs (§5.3).
Le prix risque-neutre est une espérance $C=e^{-rT}\,\mathbb E^{\mathbb Q}[\text{payoff}]$. Hors cas très particuliers, elle n'a pas de forme fermée pour un $\sigma$ Volterra : on l'estime par simulation, et l'erreur décroît en $O(1/\sqrt P)$ (TCL), indépendamment du noyau — d'où l'universalité de la méthode.
Prix à payer : un bruit statistique (réduit en §5.3) et un biais de discrétisation en temps (contrôlé par $N$, §5.5).
Notons $Y_p=\text{payoff}(S^{(p)})$ les $P$ tirages : des copies indépendantes et de même loi (chaque trajectoire provient d'un jeu de chocs $Z$ indépendant), de moyenne $\mu=\mathbb E^{\mathbb Q}[\text{payoff}]$ et de variance $s^2=\mathrm{Var}(\text{payoff})$ finie. Le prix exact est $C=e^{-rT}\mu$, l'estimateur $\widehat C=e^{-rT}\bar Y$ avec $\bar Y=\tfrac1P\sum_p Y_p$.
1. Sans biais. Par linéarité, $\mathbb E[\widehat C]=e^{-rT}\tfrac1P\sum_{p}\mathbb E[Y_p]=e^{-rT}\mu=C$ : l'estimateur vaut le prix en moyenne.
2. Variance — l'étape clé, c'est l'indépendance. Les $Y_p$ étant indépendants, la variance de la somme = somme des variances : $$ \mathrm{Var}(\widehat C)=e^{-2rT}\tfrac1{P^2}\,\mathrm{Var}\Big(\textstyle\sum_{p=1}^P Y_p\Big)=e^{-2rT}\tfrac1{P^2}\cdot P\,s^2=\frac{e^{-2rT}s^2}{P}. $$
3. Écart-type = l'erreur. En prenant la racine, $\mathrm{std}(\widehat C)=e^{-rT}s/\sqrt P$ : décroît en $1/\sqrt P$ (diviser l'erreur par 2 coûte 4× plus de chemins) et ne dépend pas de la dimension du noyau — ni $N$ ni régularité — d'où l'universalité.
4. Loi & intervalle de confiance (TCL). Le théorème central limite donne $\sqrt P\,(\bar Y-\mu)\to\mathcal N(0,s^2)$ (en loi), soit $$ \widehat C\approx\mathcal N\!\Big(C,\tfrac{e^{-2rT}s^2}{P}\Big)\ \Longrightarrow\ \text{IC à 95\%}:\ \widehat C\pm 1.96\,\frac{e^{-rT}s}{\sqrt P}. $$
5. Pourquoi le $\approx$ et le chapeau. Le vrai $s$ est inconnu (il dépend du prix cherché) → on le remplace par l'écart-type empirique sur les mêmes $P$ tirages, $\widehat{\mathrm{std}}^{\,2}=\tfrac1{P-1}\sum_p(Y_p-\bar Y)^2\to s^2$ (estimateur convergent) : d'où $\text{erreur}\approx e^{-rT}\widehat{\mathrm{std}}/\sqrt P$ — l'erreur est elle-même estimée. $\blacksquare$
$W$ triangulaire ($\sigma_{t_i}$ ne dépend que des chocs passés) ; chaque poids garde la variance exacte de l'incrément (forme close pour les 4 noyaux). Unique opération en $O(N^2)$/chemin. Pourquoi pas une évaluation ponctuelle du noyau ? Le schéma naïf $K(t_i-t_{j-1})\sqrt{\Delta t}$ (« Euler 1 ») sous-estime la variance près de la singularité rough → le frac dérive avec $N$ ; Euler 3 l'intègre exactement → convergence.
$\sigma_{t_i}$ prédictible (début de pas) ⇒ chaque incrément est log-normal d'espérance 1 ⇒ $\mathbb E[S_T]=S_0$ exactement. La corrélation prix-vol vient du partage du bruit $\Delta W_i=\sqrt{\Delta t}\,Z_i$ entre $\sigma$ et $B$. La trajectoire entière est conservée (asiatique, barrière, forward-start).
On décompose la convolution $X_{t_i}=\nu\sum_{j\le i}I_{ij}$ en incréments d'intervalles disjoints, donc indépendants : $I_{ij}=\int_{t_{j-1}}^{t_j}K(t_i-s)\,dW_s\sim\mathcal N(0,\sigma_{ij}^2)$ avec $\sigma_{ij}^2=\int_{t_{j-1}}^{t_j}K(t_i-s)^2ds$ (isométrie d'Itô). On l'écrit donc exactement en loi $I_{ij}\stackrel{d}{=}\sigma_{ij}Z_j$ — d'où $W_{ij}=\nu\,\sigma_{ij}$. Comme les $Z_j$ sont i.i.d., $\mathrm{Var}(X_{t_i})=\nu^2\sum_{j\le i}\sigma_{ij}^2=\nu^2\int_0^{t_i}K^2$ = valeur exacte : zéro erreur sur $\mathrm{Var}(\sigma_t)$, à tout $N$.
Sur l'incrément diagonal $j=i$ du frac $K(\tau)=\tau^{H-1/2}/\Gamma(H+\tfrac12)$, la vraie variance vaut $\sigma_{ii}^2=\frac{\Delta t^{2H}}{2H\,\Gamma(H+\tfrac12)^2}$. Les rapports à la vérité (le $\Delta t^{2H}$ se simplifie — l'erreur est un facteur constant, pas $O(\Delta t)$) : Euler 1 $=2H$, midpoint $=2H\cdot2^{1-2H}$, Euler 3 $=1$. Pour $H=0.1$ : Euler 1 sous-estime ×5, midpoint ×2.9 ; Euler 3 exact. L'erreur ne tend pas vers 0 quand $N\to\infty$ → le ponctuel dérive, Euler 3 converge (§5.5, figure (c)).
Plus on met de pas de temps $N$, plus la simulation devrait être juste. On trace la fraction de la variance vraie de $\sigma$ que chaque schéma capture, selon $N$ (noyau rough $K(\tau)=\tau^{H-1/2}$). Euler 3 est exact pour tout $N$ (ligne plate à 100 %) ; Euler 1 / 2 (ponctuels) sous-estiment et ne rattrapent qu'en $N^{-2H}$ — si lent qu'ils restent faux même à grand $N$. C'est ça, « le ponctuel dérive, pas Euler 3 ». Bougez H : à $H=\tfrac12$ (noyau lisse) les 3 coïncident ; plus c'est rough, plus l'écart est béant.
Le bruit en $1/\sqrt P$ est le talon d'Achille : diviser l'erreur par 2 coûte 4× de chemins. Deux leviers, sans biais. Antithétiques : à chaque $\Delta W$ on ajoute son opposé $-\Delta W$ ; le payoff du call étant monotone, la paire est négativement corrélée → variance réduite à budget égal. Nombres aléatoires communs (CRN) : pour la calibration (§6) on fige les normales (par maturité) → l'objectif devient lisse et déterministe en les paramètres (Levenberg-Marquardt converge), et les deux strikes du skew $K_\pm$ partagent les chemins → leur différence est très peu bruitée.
La simulation est la même pour tous les noyaux ; seul le pas $N$ joue un rôle différent selon la régularité :
| Noyau | Comportement en $N$ | Pourquoi |
|---|---|---|
| exp / 2exp (markovien) | converge proprement | noyau borné et lisse |
| shifted (rough régularisé) | converge proprement | noyau $(t-s+\varepsilon)^{H-1/2}$ borné en $0$ |
| frac (rough, singulier) | converge (avec Euler 3) | la variance diagonale $\int K^2$ est intégrée exactement |
La diagonale du noyau frac explose comme $(t-s)^{H-1/2}$. Un schéma qui évalue le noyau ponctuellement (Euler 1 / point-milieu) sous-estime la variance de l'incrément diagonal d'un facteur fixe → le skew du frac dérive avec $N$. Le schéma d'Euler 3 intègre $\int_{t_{j-1}}^{t_j}K^2$ exactement (forme close) : le frac se stabilise (§5.5, figure (c)). On fixe néanmoins la règle $N(T)$ une fois pour toutes à la calibration (§6), pour que le skew soit comparable entre maturités.
Deux erreurs de natures différentes : bruit statistique $\sim 1/\sqrt P$ (IC 95 % $=1.96\,\widehat{\mathrm{std}}/\sqrt P$), indépendant du noyau ; et biais de discrétisation $\sim 1/N$ (Euler sur le log-prix — la variance de $\sigma$, elle, est exacte à $N$ fixé par Euler 3, donc pas de dérive du frac). Coût d'une simulation : $O(P\cdot N^2)$, dominé par le produit $Z\,W^{\!\top}$ — lourd mais massivement vectorisable et universel (markovien, rough, et les exotiques du §7).
Sans prix de référence externe, on valide par des vérités connues que le MC doit retrouver. (1) Limite $\nu=0$ : vol-of-vol nulle ⇒ $\sigma\equiv\sigma_0$ constant ⇒ on retombe sur Black-Scholes (forme fermée), à tous les strikes. (2) Martingale $\mathbb E[S_T]=S_0$ : garantie exacte par le schéma point-gauche (§5.2).
| call $T=1$ (limite $\nu=0$, $\sigma=0.20$) | $K=90$ | $K=100$ | $K=110$ |
|---|---|---|---|
| Black-Scholes exact | 13.59 | 7.97 | 4.29 |
| Monte-Carlo (IC 95 %) | 13.58 ± 0.07 | 7.95 ± 0.06 | 4.28 ± 0.04 |
Martingale $\mathbb E[S_T]/S_0 = 0.9993$ (rough) à $1.0000$ (markovien) — soit $1$ à l'erreur Monte-Carlo près. Le MC reproduit Black-Scholes à l'erreur près à tous les strikes → la chaîne simulation → payoff → moyenne est correcte.
On cale les 4 noyaux sur le vrai skew SPX (avec ρ calibré) via le moteur Monte-Carlo. Résultat : le markovien 2-facteurs gagne, et la rugosité H n'est pas identifiable.
Pipeline. Données (§3) → modèle (§4) → moteur Monte-Carlo (§5) → calibration (ici) → exotique (§7).
| noyau | paramètres calibrés | RMSE | k | AIC | BIC |
|---|---|---|---|---|---|
| 2exp (markovien) | κ₁=40, ν₁=0.38, κ₂=1.03, ν₂=0.31, ρ=−0.98 | 0.0091 | 5 | −62.1 | −60.2 |
| shifted (rough) | H = 0.07, ν = 0.19, ρ = −1.0 | 0.0188 | 3 | −50.2 | −49.0 |
| frac (rough) | H = 0.36, ν = 0.36, ρ = −0.86 | 0.0202 | 3 | −48.7 | −47.5 |
| exp (1 facteur) | κ = 0.34, ν = 0.70, ρ = −0.82 | 0.0478 | 3 | −29.7 | −28.5 |
$S_{2exp}$ ajuste le mieux ($\approx 0.009$) — même par AIC/BIC malgré 5 paramètres. Ses deux échelles ($\kappa_1\approx40$ rapide, $\kappa_2\approx1.0$ lente) capturent le crossover du skew (§3.4). $S_{exp}$ (1 facteur) ne peut pas faire le crossover. Cohérent avec le §3.3 (proxy $S_{2exp}$ gagnait à 0.008).
Parcimonie (AIC/BIC). $S_{2exp}$ a 5 paramètres (le plus) mais son RMSE est si bas qu'il gagne quand même AIC et BIC ; $S_{exp}$ est pénalisé par son mauvais ajustement. Meilleur modèle = markovien à deux facteurs. Stein-Stein vs Heston (§6.5) : Heston (variance CIR) calibre aussi le skew ; le choix relève de la tractabilité (vol gaussienne directement simulable vs variance CIR à intégrer en gérant la positivité), pas d'un verdict empirique sur les vanilles ATM.
Les vanilles ne tranchent pas. S'il existe une différence observable entre ces modèles calibrés à l'identique, elle est dans les exotiques path-dépendantes — c'est le §7 : pricer la même asiatique sous les 4 modèles et mesurer leur divergence.
La boucle se referme. On price enfin l'option asiatique du §1 sous chaque dynamique calibrée — et l'écart de prix matérialise le coût réel d'une erreur sur le modèle.
Pipeline. Données (§3) → modèle (§4) → moteur Monte-Carlo (§5) → calibration (§6) → exotique par Monte-Carlo (ici).
| noyau | niveau $L$ | paramètres skew | $\rho$ | RMSE vol | RMSE skew | vol ATM 1 an |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2exp (markovien) | 0.183 | κ₁=24.6, ν₁=0.371, κ₂=0.83, ν₂=0.218 | −0.999 | 0.0103 | 0.0131 | 20.8 % |
| shifted (rough) | 0.183 | H=0.031, ν=0.157 | −0.999 | 0.0102 | 0.0165 | 20.8 % |
| frac (rough) | 0.182 | H=0.219, ν=0.158 | −0.999 | 0.0104 | 0.0576 | 20.7 % |
| exp (1 facteur) | 0.179 | κ=2.77, ν=0.433 | −0.995 | 0.0153 | 0.1058 | 21.2 % |
Les 4 modèles ont désormais ~même vol ATM (20–21 %) et ~même skew — vanilles comparables. Seul exp (1 facteur) ne reproduit pas le skew (RMSE 0.106, pas de crossover) : il reste inadéquat même après recalibration. Les deux noyaux rough donnent encore des $H$ incompatibles (frac 0.22 vs shifted 0.03) — la non-identifiabilité du §6 persiste.
Une exotique path-dépendante n'a ni cotation ni formule fermée : on simule. La volatilité gaussienne se discrétise par le schéma d'Euler 3 (variance exacte, §5.2) en $\sigma_{t_i}=L+\sum_{j\le i} W_{ij}\,Z_j$, $W_{ij}=\sqrt{\int_{t_{j-1}}^{t_j}K(t_i-s)^2ds}$ (alternative directe au lift markovien du §4.2, car $\sigma$ est gaussien) ; le log-prix $dX_t=-\tfrac12\sigma_t^2dt+\sigma_t(\rho\,dW_t+\sqrt{1-\rho^2}\,dZ_t)$ donne la trajectoire entière $S_{t_i}=S_0e^{X_{t_i}}$ — nécessaire pour l'asiatique (moyenne), la barrière (extrema), le forward-start. Variables antithétiques (240k chemins, T=1).
| payoff (ATM, T=1) | exp | 2exp | frac | shifted | disp. 4 mod. | disp. 3 adéq. |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Européenne (vanille) | 8.515 | 8.315 | 8.319 | 8.332 | 2.4 % | 0.2 % |
| Asiatique arithmétique | 4.716 | 4.696 | 4.690 | 4.706 | 0.5 % | 0.3 % |
| Forward-start (T/2) | 5.881 | 5.748 | 5.770 | 5.742 | 2.4 % | 0.5 % |
| Barrière Up & Out 130 | 8.004 | 7.811 | 7.639 | 7.810 | 4.7 % | 2.2 % |
Deux dispersions. « 4 mod. » inclut exp, le 1-facteur inadéquat (RMSE skew 0.106) — il gonfle l'écart, surtout sur les vanilles. « 3 adéq. » ne garde que les modèles qui collent vraiment aux vanilles (2exp markovien, frac & shifted rough) : c'est la vraie mesure du risque rough↔markovien. On y voit que les vanilles deviennent indiscernables (0.2 %), l'asiatique reste à ~0.3 %, mais la barrière garde ~2.2 % — frac (rough) décroche encore.
Verdict. Conclure « rough » trop vite ne coûte presque rien sur les vanilles ni sur une asiatique, mais peut coûter plusieurs % sur un exotique sensible au chemin de la volatilité. Le risque de modèle est réel, borné, et dépend du produit — un argument pour la prudence plutôt que pour une foi aveugle dans la rugosité.
Le climax : on rassemble les pièces — skew empirique (§3), moteur Monte-Carlo (§5), calibration (§6), exotiques (§7) — pour répondre à la question centrale.
La calibration du §6 livre un constat dérangeant : deux noyaux rough de rugosités très différentes ajustent le skew SPX de façon comparable, et le meilleur ajustement n'est même pas rough.
| noyau | RMSE skew | $H$ calibré | nature |
|---|---|---|---|
| 2exp | 0.009 | — | markovien (pas de $H$) — gagne |
| shifted | 0.019 | 0.07 | rough régularisé |
| frac | 0.020 | 0.36 | rough singulier |
| exp | 0.048 | — | markovien 1-facteur (échoue : pas de crossover) |
frac ($H\approx0.36$) et shifted ($H\approx0.07$) atteignent la même qualité d'ajustement avec une rugosité 5× différente → le skew ne contraint pas $H$ (vallée plate de l'objectif, §6.6). Deux mécanismes : (i) entre familles de noyaux, des $H$ incompatibles donnent le même skew ; (ii) rough ↔ réversion rapide — un noyau rough est un mélange infini d'OU qu'une somme finie (markovienne) approche (§4.2). Côté vol réalisée (physique), estimer $H$ sur échantillon fini est biaisé, et un comportement spiky peut imiter la rugosité (GJR 2018 ; Abi Jaber & Li 2025). $H$ n'est pas robustement identifiable.
Un moteur Monte-Carlo unique (Euler 3) pour le Volterra Stein-Stein, calibré au SPX : le markovien 2-facteurs gagne, $H$ n'est pas identifiable, et le risque de modèle vit dans les exotiques.
Ce mémoire a construit un moteur Monte-Carlo unique (schéma d'Euler 3, variance exacte) pour la classe Volterra Stein-Stein, validé par la limite Black-Scholes et le test de martingale (§5). Calibré au skew SPX, il livre trois résultats : (i) le markovien à 2 facteurs ajuste le mieux (meilleur BIC) ; (ii) la rugosité $H$ n'est pas identifiée (frac et shifted ajustent aussi bien avec des $H$ ~5× différents) ; (iii) sous calibration jointe, les modèles s'accordent sur les vanilles mais divergent sur les exotiques, d'un écart payoff-dépendant.
Définitions et rappels référencés dans le texte par un numéro entre parenthèses (p. ex. (1)). Cliquez sur le numéro pour venir ici, et sur ↩ pour revenir au passage.
Pourquoi c'est le cœur du problème. Pour une exotique, il n'existe ni cotation à inverser, ni formule fermée de Black-Scholes. La seule voie générale est de simuler le sous-jacent (Monte-Carlo) — ce qui exige de connaître la dynamique de la volatilité à chaque instant, et non une simple vol implicite moyenne. C'est ce qui motive toute la suite : choisir un modèle réaliste de volatilité (§4) pour pouvoir, in fine, pricer l'exotique (§7).
↩ retour au texteLe rôle de $H$. La taille typique d'un incrément sur une durée $h$ est $\mathbb{E}\big[(B^H_{t+h}-B^H_t)^2\big]^{1/2} = h^{H}$ : les trajectoires sont höldériennes d'ordre $H$. On distingue trois régimes :
Lien avec la volatilité « rough ». C'est le régime $H<\tfrac12$ qui sous-tend la rough volatility : piloter la volatilité par un fBm (ou un bruit de même régularité) avec $H\approx0.1$ produit des trajectoires très dentelées et un skew ATM qui explose à court terme, conformément aux observations de marché (Gatheral, Jaisson & Rosenbaum, 2018).
Une difficulté. Pour $H\neq\tfrac12$, le fBm n'est ni markovien ni une semi-martingale — les outils standards (EDP, formule d'Itô classique) ne s'appliquent plus directement. Une représentation utile est la forme Volterra : $B^H$ s'écrit comme une intégrale du brownien pondérée par un noyau singulier $K(t,s)\propto (t-s)^{H-1/2}$ — c'est exactement ce noyau qui réapparaît dans la classe Volterra Stein-Stein (cf. §4).
On fixe $\sigma,T$ et on bouge $K$. En posant la log-moneyness $x=\ln(S_0/K)$ :
donc $d_1$ est affine en $x$. Or composer une gaussienne avec une fonction linéaire redonne une gaussienne :
C'est exactement une loi normale en $\ln(S_0/K)$, centrée en $x=-cT$ (pic au strike $K=S_0e^{(r-q+\frac12\sigma^2)T}$, juste au-dessus du forward) et d'écart-type $\sigma\sqrt{T}$. La légère distorsion visible tient seulement à ce que l'axe est en $K$ et non en $\ln K$ (changement de variable lognormal).
On fixe $K,T$ et on bouge $\sigma$. En posant $m=\ln(S_0/K)+(r-q)T$ (constante) :
Ici $d_1$ est non linéaire en $\sigma$ : un terme en $1/\sigma$ plus un terme en $\sigma$. Composer la gaussienne (symétrique) avec cette fonction non symétrique brise la symétrie :
D'où un pic décalé vers les petites volatilités, situé en
qui n'est autre que la formule de Manaster-Koehler (les points sur les courbes, utilisés pour initialiser Newton au §2.3).
En une phrase. C'est la même gaussienne $\varphi(d_1)$ : elle reste symétrique quand $d_1$ dépend linéairement de la variable (le log-strike → forme normale), et devient asymétrique dès que $d_1$ en dépend de façon non linéaire (la vol, avec ses termes $1/\sigma$ et $\sigma$).
↩ retour au texte1. La dérivée est la vega, et elle est strictement positive. La sensibilité de $C_{BS}$ à $\sigma$ est la vega, calculée au §2.1 :
Pour $S_0>0$ et $T>0$, examinons chaque facteur :
Un produit de facteurs strictement positifs étant strictement positif :
2. Dérivée positive $\Rightarrow$ fonction strictement croissante. C'est le théorème des accroissements finis (Lagrange). Soient $0<\sigma_1<\sigma_2$. $C_{BS}$ étant dérivable (donc continue) sur $[\sigma_1,\sigma_2]$, il existe $\xi\in(\sigma_1,\sigma_2)$ tel que
Donc $C_{BS}(\sigma_2) > C_{BS}(\sigma_1)$ : la fonction est strictement croissante. $\;\square$
Lecture financière. Plus de volatilité = plus d'incertitude sur $S_T$. Comme le payoff du call $(S_T-K)^+$ est convexe (illimité à la hausse, plancher à zéro à la baisse), un étalement de la loi de $S_T$ augmente toujours l'espérance du payoff : la volatilité ne peut que valoriser l'option. C'est l'intuition derrière le signe $\text{vega}>0$.
Conséquence. Strictement croissante $\Rightarrow$ injective : $C_{BS}$ ne prend jamais deux fois la même valeur, ce qui interdit l'existence de deux volatilités implicites distinctes (l'argument complet d'unicité et d'existence est en note (7)).
1. Stricte monotonie via la vega. La dérivée de $C_{BS}$ par rapport à $\sigma$ est la vega, strictement positive (note (6)) :
Une fonction de dérivée strictement positive est strictement croissante : elle est donc injective — elle ne peut pas prendre deux fois la même valeur. S'il existe une solution à $C_{BS}(\sigma)=C^{*}$, elle est unique.
2. Existence : les bornes d'arbitrage. La monotonie ne garantit pas à elle seule qu'une solution existe ; il faut que $C^{*}$ soit dans l'image de $C_{BS}$. On calcule les deux limites (call, en notant $F=S_0e^{(r-q)T}$ le forward) :
Quand $\sigma\to0$, l'incertitude disparaît : le payoff actualisé vaut sa valeur intrinsèque forward $e^{-rT}(F-K)^{+}$. Quand $\sigma\to\infty$, $d_1\to+\infty$ et $d_2\to-\infty$, donc $N(d_1)\to1$, $N(d_2)\to0$, et le prix tend vers la borne supérieure $S_0e^{-qT}$ (le call vaut « presque » le sous-jacent). Étant strictement croissante et continue, $C_{BS}$ réalise donc une bijection de $(0,\infty)$ vers l'intervalle ouvert
Ce sont exactement les bornes d'arbitrage du call. Le théorème des valeurs intermédiaires donne alors :
Conclusion. Sous condition que le prix respecte les bornes d'arbitrage, l'équation $C_{BS}(\sigma)=C^{*}$ admet une solution unique — ce qui légitime de parler de la volatilité implicite, et garantit que toute méthode de recherche de racine (dichotomie, Newton) converge vers le même $\sigma_{iv}$.
où $C$ est le prix de l'option et $S_0$ le spot (ATM, $K=F$). C'est une seule multiplication — aucune itération — et le résultat tombe déjà à quelques pour-cent de $\sigma^{*}$.
1. Prix d'un call ATM-forward. À la monnaie-forward ($K=F=S_0e^{(r-q)T}$), les deux termes de Black-Scholes se symétrisent : $d_1=\tfrac12\sigma\sqrt{T}$ et $d_2=-\tfrac12\sigma\sqrt{T}$, d'où (en valeur forward, on pose $S_0e^{-qT}\!\approx\!S_0$) :
2. Développement au premier ordre. Pour $x$ petit, $2N(x)-1 = 2\!\int_0^x \varphi(u)\,du \approx 2\varphi(0)\,x = \sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\;x$, car $\varphi(0)=\tfrac1{\sqrt{2\pi}}$. Avec $x=\tfrac12\sigma\sqrt{T}$ :
3. On inverse. En isolant $\sigma$ on obtient l'initialisation :
Pourquoi ça marche si bien. La formule n'est rien d'autre que la tangente à l'origine de $C(\sigma)$ : à la monnaie, le prix est presque linéaire en $\sigma$ (la vega ATM $\approx S_0\sqrt{T/2\pi}$ est quasi constante). Newton, qui remplace la courbe par sa tangente, part donc d'un point déjà sur la bonne pente ⇒ 1 à 2 itérations suffisent. Sa limite : c'est une approximation ATM ; loin de la monnaie (ailes), la vega s'effondre et même cette init tombe en zone plate — c'est le cas non réparable de l'onglet ② du §2.3. Remède alternatif : la vol qui maximise la vega (Manaster-Koehler, note (6)).
Modèle (fondations)
Rough vs markovien / path-dépendant
Structure par terme de l'ATM skew
Inversion Black-Scholes / vol implicite